Wie alte babylonische Landvermesser eine einzigartige Form der Trigonometrie entwickelten – 1.000 Jahre vor den Griechen

Leitender Dozent, UNSW Sydney

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Unser modernes Verständnis der Trigonometrie geht auf antike griechische Astronomen zurück, die die Bewegung von Himmelskörpern am Nachthimmel untersuchten.

Aber im Jahr 2017 zeigte ich, dass die alten Babylonier wahrscheinlich mehr als 1.000 Jahre vor den Griechen ihre eigene Art von „Prototrigonometrie“ entwickelten. Warum interessierten sich die Babylonier also für rechtwinklige Dreiecke? Wofür haben sie sie verwendet?

Ich habe die letzten Jahre damit verbracht, es herauszufinden. Meine heute in Foundations of Science veröffentlichte Forschung zeigt, dass die Antwort im Verborgenen lag.

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Viele tausend Tontafeln wurden aus den verlorenen Städten des alten Babylon im heutigen Irak geborgen. Diese Dokumente wurden über Jahrtausende hinweg unter der Wüste aufbewahrt. Einmal entdeckt, gelangten sie in Museen, Bibliotheken und Privatsammlungen.

Ein Beispiel ist die etwa 3.700 Jahre alte Katastervermessung Si.427, die den Plan eines Feldvermessers darstellt. Es wurde von Pater Jean-Vincent Scheil während einer französischen archäologischen Expedition im Jahr 1894 in Sippar, südwestlich von Bagdad, ausgegraben. Doch seine Bedeutung wurde damals nicht verstanden.

Es stellt sich heraus, dass Si.427 – das sich seit mehreren Jahrzehnten im türkischen Archäologischen Museum İstanbul Arkeoloji Müzeleri (Istanbuler Archäologisches Museum) befindet und derzeit ausgestellt ist – tatsächlich eines der ältesten Beispiele angewandter Geometrie aus der Antike ist. Schauen wir uns an, was es so besonders macht.

Die alten Babylonier schätzten Land genauso wie wir heute. Schon früh befanden sich große landwirtschaftliche Flächen im Besitz von Institutionen wie Tempeln oder Palästen.

Professionelle Vermesser würden diese Felder vermessen, um die Größe der Ernte abzuschätzen. Aber sie legten keine Feldgrenzen fest. Es scheint, dass diese mächtigen Institutionen keinen Gutachter oder sonst jemanden brauchten, der ihnen sagte, was sie besaßen.

Die Art des Landbesitzes änderte sich während der altbabylonischen Zeit zwischen 1900 und 1600 v. Chr. Anstelle großer institutioneller Felder könnten nun kleinere Felder im Besitz normaler Menschen sein.

Diese Änderung hatte Auswirkungen auf die Art und Weise, wie Land vermessen wurde. Im Gegensatz zu Institutionen brauchten private Landbesitzer Vermesser, um Grenzen festzulegen und Streitigkeiten beizulegen.

Die Notwendigkeit einer genauen Vermessung geht aus einem altbabylonischen Gedicht über streitende Schüler hervor, die lernen, Vermessungsingenieure zu werden. Der ältere Schüler ermahnt den jüngeren Schüler und sagt:

Wenn Sie einen Plot teilen möchten, können Sie den Plot nicht teilen. Wenn Sie ein Feld aufteilen, können Sie nicht einmal das Band und die Stange richtig halten. Die Feldpfähle können Sie nicht platzieren; Du kannst seine Form nicht verstehen, sodass du nicht in der Lage bist, Frieden zu bringen, wenn Menschen, denen Unrecht getan wird, sich streiten, aber du erlaubst dem Bruder, den Bruder anzugreifen. Unter den Schriftgelehrten seid ihr (allein) für den Ton ungeeignet.

In diesem Gedicht werden Maßband und Stab erwähnt, die auf die standardmäßigen babylonischen Vermessungswerkzeuge verweisen: das Messseil und den Einheitsstab. Sie waren im alten Babylon verehrte Symbole für Fairness und Gerechtigkeit und wurden oft in den Händen von Göttinnen und Königen gesehen.

Babylonische Landvermesser nutzten diese Werkzeuge, um Land in handhabbare Formen zu unterteilen: Rechtecke, rechtwinklige Dreiecke und rechtwinklige Trapeze.

Früher, bevor Vermesser Grenzen festlegen mussten, machten sie einfach landwirtschaftliche Schätzungen. 90°-Winkel waren damals gute Näherungswerte, aber sie waren nie ganz richtig.

Die altbabylonische Katastervermessung Si.427 zeigt die Grenzen eines kleinen Grundstücks, das von einer Person namens Sîn-bêl-apli gekauft wurde.

Es gibt einige sumpfige Gebiete, die wichtig gewesen sein müssen, da sie sehr sorgfältig vermessen werden. Klingt nach einem normalen Arbeitstag für einen babylonischen Landvermesser, oder? Aber Si.427 hat etwas ganz Besonderes.

In früheren Vermessungen sind die 90°-Winkel nur Näherungswerte, in Si.427 betragen die Ecken jedoch genau 90°. Wie könnte jemand mit nur einem Messseil und einem Maßstab so genaue rechte Winkel herstellen? Nun, indem man ein pythagoräisches Tripel bildet.

Ein pythagoräisches Tripel ist eine besondere Art eines rechtwinkligen Dreiecks (oder Rechtecks) mit einfachen Maßen, die den Satz des Pythagoras erfüllen. Sie sind einfach zu konstruieren und haben theoretisch perfekte rechte Winkel.

Pythagoräische Tripel wurden im alten Indien möglicherweise bereits 800 v. Chr. zur Herstellung rechteckiger Feueraltäre verwendet. Durch Si.427 wissen wir jetzt, dass die alten Babylonier sie bereits 1900 v. Chr. zur Durchführung genauer Landvermessungen verwendeten.

Si.427 enthält nicht nur ein, sondern drei pythagoräische Tripel.

Si.427 hat uns auch geholfen, andere Tafeln aus der altbabylonischen Zeit zu verstehen.

Nicht alle pythagoräischen Tripel waren für babylonische Vermesser nützlich. Was ein pythagoreisches Tripel nützlich macht, sind seine Seiten. Insbesondere müssen die Seiten „regulär“ sein, das heißt, sie können auf jede beliebige Länge vergrößert oder verkleinert werden. Reguläre Zahlen haben außer 2, 3 und 5 keine Primfaktoren.

Plimpton 322 ist eine weitere alte babylonische Tafel mit einer Liste pythagoräischer Tripel, die einer modernen trigonometrischen Tabelle ähneln. Moderne trigonometrische Tabellen listen die Seitenverhältnisse auf (Sin, Cos und Tan, irgendjemand?).

Aber anstelle dieser Verhältnisse sagt uns Plimpton 322, welche Seiten eines pythagoräischen Tripels regelmäßig und daher für die Vermessung nützlich sind. Man kann sich leicht vorstellen, dass es von einem reinen Mathematiker erstellt wurde, der wissen wollte, warum einige pythagoreische Tripel verwendbar sind, andere jedoch nicht.

Alternativ hätte Plimpton 322 entwickelt werden können, um ein bestimmtes praktisches Problem zu lösen. Auch wenn wir die wahren Absichten des Autors nie erfahren werden, liegt sie wahrscheinlich irgendwo zwischen diesen beiden Möglichkeiten. Was wir wissen ist, dass die Babylonier ihr eigenes, einzigartiges Verständnis der pythagoräischen Tripel entwickelten.

Diese „Prototrigonometrie“ entspricht der von antiken griechischen Astronomen entwickelten Trigonometrie. Dennoch ist es anders, weil es als Reaktion auf die Probleme entwickelt wurde, mit denen babylonische Vermesser konfrontiert waren, die nicht auf den Nachthimmel, sondern auf das Land blickten.

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